Дискретная математика что это такое
Дискретные структуры: матан для айтишников
Посмотришь на любую программу обучения по IT-специальности, и тут же увидишь дисциплину «Дискретная математика» (возможно, под другим названием), обычно для перво- или второкурсников. И её наличие вполне разумно, поскольку дискретная математика и непрерывная математика (представленная на первом курсе институтов с незапамятных времён математическим анализом) — две грани единой Математики, — красивой, могучей науки.
Хотя раньше такого понятия, как «дискретная математика» вовсе не было, это не значит, что не возникало дискретных задач: Абель, Дирихле, Фибоначчи, Эйлер, чьи имена возникают по ходу изучения дискретной математики, — отнюдь не наши современники! Но просто в те времена для выделения самостоятельной ветви математики ещё не сложилось критической массы задач и приёмов, не было видно взаимосвязей между ними. А большое количество плодотворных взаимосвязей между, на первый взгляд, различными понятиями, — то, что математики в своей науке очень ценят. Ну хорошо, математикам всё математическое интересно. А зачем дискретная математика программисту?Зачем это айтишнику
Во-первых, многие идеи, которые особенно ярко иллюстрируются на дискретных задачах, неотъемлемы и для информатики. Взять, хотя бы, фундаментальные понятия рекурсии и индукции. Рекурсия — это, дословно, возврат, обращение к самому себе. Хорошо известные вездесущие числа Фибоначчи проще всего определяются рекурсивно: первые два числа Фибоначчи равны единице, а каждое следующее число равно сумме двух своих предшественников: 1,1,2,3,5,8,… Таким образом, для вычисления очередного числа мы обращаемся к уже рассчитанным числам такого же вида. Трудно представить, как можно изучить функциональное программирование, да и многое из других областей информатики, не освоившись хорошо с рекурсией. Очень близкий процесс к рекурсии — это индукция, способ доказательства математических утверждений, при котором в доказательстве сложных случаев мы опираемся на более простые. Параллели с рекурсией очевидны, и действительно, обычное дело, когда индуктивное доказательство существования какого-то объекта можно переформулировать в описание рекурсивного способа построения этого объекта. Раз речь зашла о таких фундаментальных вещах, как индукция и рекурсия, не могу не сказать, что многие приёмы, которые очень хорошо видны на примерах из дискретной математики, эффективны в математике в целом. Это не только индукция, но и принцип Дирихле, принцип выбора по среднему значению и другие.Следующий элемент, без которого информатику нельзя представить — это графы. Простейшие алгоритмы на графах обязательно входят в любой, даже самый вводный, курс по алгоритмам. Скажем, с понятием гамильтонова цикла связана одна из классических задач информатики, задача коммивояжёра.
Ещё одно архиважное умение — считать точно и оценивать приблизительно количества. Например, как вычислить количество раз, которые выполняется операция сравнения в цикле:for i ≔ 1 to n do for j ≔ i to n do for k ≔ i to j do if a[i] > a[k] then …Или вот ещё пример. Нужно из списка из 100 товаров выбрать 20, так, чтобы их суммарная стоимость была ровно 2000 рублей («без сдачи»). Это вариант классической задачи о рюкзаке. Допустим, ваш коллега, подумав ночь, предложил решать задачу перебором: перебрать всевозможные наборы из двадцати товаров, и, как только в ходе перебора возникнет нужный набор, выдать его в качестве ответа. Между прочим, характеристика «переборный» далеко не всегда ставит клеймо на алгоритме. Всё зависит от размера входных данных. Так вот, как прикинуть, удастся ли за разумное время решить перебором эту задачу выбора 20 объектов из 100?
Наконец, для современного «дизайнера алгоритмов» обязателен к пониманию и вероятностный метод. Это общий метод, позволяющей решать многие задачи в современной комбинаторике. Очень часто наилучшие решения задач, известные на сегодняшний день, получены именно этим методом. Для практика же овладение этим методом полезно постольку, поскольку вероятностные алгоритмы прочно заняли место в современной информатике. И при анализе работы таких алгоритмов очень помогает интуиция, развитая в ходе изучения вероятностного метода.
Онлайн-курс «Дискретные структуры»
С верой в то, что перечисленные понятия из дискретной математики действительно не помешают любому программисту, а, скорее, помешает их незнание, я читаю соответствующий курс на факультете ФИВТ МФТИ. А недавно у меня появилась возможность сделать онлайн-курс, чем я с радостью воспользовался. Записаться на него можно по ссылке. Главное, чего я пожелаю всем записавшимся: не побоявшись трудностей, пройти курс до самого конца, и получить заслуженное звание Дипломированного Дискретчика. В общем, чтобы MOOC прошёл без мук и обогатил знаниями! Да и собственная корысть у меня тут тоже есть: чем больше онлайн-учеников у меня будет, тем большему я смогу научиться, читая обсуждения и наблюдая статистику решения задач. Ведь учиться учить тоже никогда не поздно!Какие знания потребуются
Для прохождения первых двух модулей потребуются только школьные знания. Третий модуль потребует знание основ математического анализа на уровне «что такое предел» и «какая из функций x20 или 2x растёт быстрее (чему равны производные функций)». Для последних трёх модулей понадобится представление о том, что такое вероятность, условная вероятность, математическое ожидание, дисперсия. Также хорошо бы знать, что такое базис и размерность линейного пространства. Если с вероятностью и линейной алгеброй вы не знакомы, можно записаться заодно на эти вводные курсы. Тогда как раз, к моменту, когда нам потребуются эти знания, они у вас будут.Post scriptum
Меня можно было бы упрекнуть в конфликте интересов, всё-таки я математик, и, естественно, хочу приобщить к своей секте как можно больше завсегдатаев Хабра. В своё оправдание могу сослаться на этот ответ на Quora. Под большей частью тем, перечисленных в этом ответе, я готов лично подписаться, в онлайн-курс многие из них вошли. Ещё сошлюсь на подборку мнений яндексоидов. Теги:- дискретная математика
- дискретный анализ
- теория графов
- теория вероятностей
Дискретная математика - это... Что такое Дискретная математика?
Дискре́тная матема́тика — область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях.
К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машины Тьюринга и так далее. Это примеры структур конечного (финитного) характера. Раздел дискретной математики, изучающий их, называется конечной математикой. Иногда само это понятие расширяют до дискретной математики. Помимо указанных конечных структур, дискретная математика изучает некоторые алгебраические системы, бесконечные графы, вычислительные схемы определённого вида, клеточные автоматы и т. д. В качестве синонима иногда употребляется термин «дискретный анализ».
Разделы дискретной математики
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 30 августа 2011. |
- Андерсон Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8
- Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика. Серия: Математика в техническом университете. Изд-во: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001.- 744 с. ISBN 5-7038-1769-2, 5-7038-1270-4
- Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М., 1969.
- Ерусалимский Я. М. Дискретная математика. — М., 2000.
- Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Издательство: Физматлит, 2007. — 408 с. ISBN 978-5-9221-0787-7
- Капитонова Ю. В., Кривой С. Л., Летичевский А. А., Луцкий Г. М. Лекции по дискретной математике. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. — С. 624. — ISBN 5-94157-546-7
- Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. — М., 1963. — С. 486.
- МЭС (1995), — М., БРЭ.
- Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. — 2-е изд. — СПб.: «Питер», 2005. — С. 364. — ISBN 5-94723-741-5
- Редькин Н. П. Дискретная математика. Издательство: Лань, 2006. — 96 с. ISBN 5-8114-0522-7
- Романовский И. В. Дискретный анализ. — 4-е изд. — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2008. — С. 336.
- Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Наука, 1979. — С. 272.
- Информатика
- Исследование операций
ДИСКРЕ́ТНАЯ МАТЕМА́ТИКА
Авторы: В. Б. Кудрявцев
ДИСКРЕ́ТНАЯ МАТЕМА́ТИКА, раздел математики, изучающий свойства дискретных структур, которые возникают как в самой математике, так и в её приложениях. При этом дискретными структурами называются объекты, для которых важнейшие характеристики принимают конечное или счётное число значений. К числу таких структур относятся, напр., конечные группы, конечные графы, некоторые математич. модели преобразователей информации, конечные автоматы, Тьюринга машины. Это примеры структур финитного (конечного) характера. Часть Д. м., изучающая их, иногда называется конечной математикой. Помимо финитных структур, Д. м. изучает также дискретные бесконечные структуры (напр., бесконечные алгебраич. системы, бесконечные графы, бесконечные автоматы).
Предмет и методы дискретной математики
Значит. часть классич. математики занимается изучением свойств объектов непрерывного характера. Использование дискретной или непрерывной модели изучаемого объекта связано как с самим объектом, так и с тем, какие задачи ставит перед собой исследователь. Само деление математики на Д. м. и математику, занимающуюся непрерывными моделями, в значит. мере условно, поскольку, с одной стороны, происходит обмен идеями и методами между ними, а с другой – часто возникает необходимость исследования моделей, обладающих как дискретными, так и непрерывными свойствами одновременно. В математике существуют разделы, использующие средства Д. м. для изучения непрерывных моделей (напр., алгебраическая геометрия), и наоборот, часто методы, развитые для анализа непрерывных моделей, используются при изучении дискретных структур (напр., асимптотические методы в теории чисел, в перечислительных задачах комбинаторики). Однако специфика мн. разделов Д. м. связана с необходимостью отказа от таких фундам. понятий классич. математики, как предел и непрерывность, в связи с чем для мн. задач Д. м. некоторые методы классич. математики оказываются неприменимыми.
Наряду с выделением Д. м. путём указания её предмета можно также описать Д. м. перечислением составляющих её частей. К ним относятся комбинаторный анализ, графов теория, теория кодирования, теория функциональных систем, теория управляющих систем, автоматов теория, алгоритмов теория. При более широком толковании к Д. м. могут быть отнесены как целые разделы математики, напр. математич. логика, так и части таких разделов, как теория чисел, алгебра, вычислительная математика, теория вероятностей, в которых изучаемые объекты имеют дискретный характер.
Исторический очерк
Элементы Д. м. возникли в глубокой древности; развиваясь параллельно с др. разделами математики, они являлись их составной частью. Типичными были задачи, связанные со свойствами целых чисел, позднее эти задачи привели к созданию теории чисел. Примеры таких задач: отыскание алгоритмов сложения и умножения натуральных чисел у древних египтян, вопросы делимости натуральных чисел и задачи суммирования в пифагорейской школе, а в более позднее время – вопросы, связанные с разрешимостью уравнений в целых числах. Этот этап развития Д. м. связан с именами Диофанта, Евлида, Пифагора и Эратосфена. В 17–18 вв., в осн. в связи с игровыми задачами, появились элементы комбинаторного анализа и дискретной теории вероятностей, а в связи с общими проблемами теории чисел, алгебры и геометрии в 18–19 вв. возникли такие важнейшие понятия алгебры, как группа, поле, кольцо, определившие дальнейшее развитие и содержание алгебры и имевшие, по существу, дискретную природу. На протяжении 17–19 вв. развитие Д. м. связано с именами Н. Абеля, Э. Варинга, У. Гамильтона, Э. Галуа, А. Кэли, Ж. Лагранжа, А. Лежандра, П. Ферма, Л. Эйлера. В 19–20 вв. стремление к строгости математич. рассуждений и анализ методов математики привели к выделению ещё одного раздела – математич. логики. В это время проблемами Д. м. занимались Л. Брауэр, Дж. Буль, Н. Винер, К. Гёдель, Д. Гильберт, А. Чёрч, К. Шеннон. В создании рос. школы Д. м. участвовали И. М. Виноградов, А. Н. Колмогоров, О. Б. Лупанов и С. В. Яблонский.
Современные задачи дискретной математики
В 20 в. развитие Д. м. определялось гл. обр. запросами практики. Возникла новая наука – кибернетика и её теоретич. часть – математич. кибернетика, изучающая математич. методами разнообразные проблемы, которые ставит перед кибернетикой практич. деятельность человека. Математич. кибернетика является поставщиком идей и задач Д. м. Так, прикладные вопросы, требующие больших вычислений, стимулировали появление и развитие численных методов решения задач, что привело к созданию вычислительной математики. Анализ понятий «вычислимость» и «алгоритм» привёл к созданию теории алгоритмов. Задачи хранения, обработки и передачи информации способствовали возникновению информации теории, теории кодирования и теоретич. криптографии. Экономич. задачи, задачи электротехники, равно как и внутренние проблемы математики, потребовали развития теории графов. Задачи описания работы и конструирования сложных управляющих систем составили предмет теории управляющих систем и теории автоматов.
Одна из особенностей Д. м. состоит в том, что вместе с задачами типа задач существования, имеющими общематематич. характер, важное место в Д. м. занимают задачи, связанные с алгоритмич. разрешимостью и построением конкретных решающих алгоритмов. Др. особенностью Д. м. является то, что в ней впервые начались исследования т. н. дискретных многоэкстремальных задач. Соответствующие методы поиска экстремумов, использующие гладкость функций, в этих случаях оказываются неприменимыми. Типичными задачами такого рода в Д. м. являются, напр., задачи отыскания в некотором смысле оптимальных стратегий в шахматах, а также задачи построения минимальных дизъюнктивных нормальных форм для булевых функций (см. также Алгебра логики).
Особенностью Д. м., связанной с задачами для конечных структур, является то, что для многих из них существуют алгоритмы решения, в то время как для задач с элементами непрерывности, как правило, полное решение возможно лишь при весьма жёстких ограничениях. Примером такого алгоритма может служить алгоритм просмотра всех возможных вариантов, т. е. алгоритм полного перебора. К задачам, в которых может быть применён алгоритм полного перебора, относятся упомянутые задачи о стратегиях в шахматной партии с ограниченным числом ходов и о минимизации дизъюнктивных нормальных форм для булевых функций. Алгоритмы полного перебора трудоёмки и часто не могут быть реализованы на практике, в связи с чем возникает ряд задач, связанных с нахождением условий, ограничивающих перебор.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА - это... Что такое ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА?
Дискретная математика — Дискретная математика область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях. К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а… … Википедия
дискретная математика — то же, что конечная математика. * * * ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА, то же, что конечная математика (см. КОНЕЧНАЯ МАТЕМАТИКА) … Энциклопедический словарь
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — конечная математика, раздел математики, занимающийся изучением св в объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены, напр., конечные группы, конечные графы, нек рые матем. модели преобразователей информации. Д. м. теоретич. основа… … Большой энциклопедический политехнический словарь
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — то же, что конец ноя математика … Естествознание. Энциклопедический словарь
«Дискретная математика» — научный журнал РАН, с 1989, Москва. Учредитель (1998) Отделение математики РАН. 4 номера в год … Энциклопедический словарь
Теория функциональных систем (дискретная математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Теория функциональных систем (значения). Теория функциональных систем раздел дискретной математики, занимающийся изучением функций, описывающих работу дискретных преобразователей. В теории… … Википедия
МАТЕМАТИКА — (греч. mathematike от mathema наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах;… … Большой Энциклопедический словарь
Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия
математика — и; ж. [греч. mathēmatikē] 1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Высшая м. Элементарная м. Прикладная м. Законы математики. // Учебный предмет, изучающий эту науку. Экзамен по математике. Преподавать… … Энциклопедический словарь
Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия
дискретная математика - это... Что такое дискретная математика?
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — то же, что конечная математика … Большой Энциклопедический словарь
Дискретная математика — Дискретная математика область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях. К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а… … Википедия
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — конечная математика, раздел математики, занимающийся изучением св в объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены, напр., конечные группы, конечные графы, нек рые матем. модели преобразователей информации. Д. м. теоретич. основа… … Большой энциклопедический политехнический словарь
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — то же, что конец ноя математика … Естествознание. Энциклопедический словарь
«Дискретная математика» — научный журнал РАН, с 1989, Москва. Учредитель (1998) Отделение математики РАН. 4 номера в год … Энциклопедический словарь
Теория функциональных систем (дискретная математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Теория функциональных систем (значения). Теория функциональных систем раздел дискретной математики, занимающийся изучением функций, описывающих работу дискретных преобразователей. В теории… … Википедия
МАТЕМАТИКА — (греч. mathematike от mathema наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах;… … Большой Энциклопедический словарь
Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия
математика — и; ж. [греч. mathēmatikē] 1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Высшая м. Элементарная м. Прикладная м. Законы математики. // Учебный предмет, изучающий эту науку. Экзамен по математике. Преподавать… … Энциклопедический словарь
Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА - это... Что такое ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА?
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — то же, что конечная математика … Большой Энциклопедический словарь
Дискретная математика — Дискретная математика область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях. К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а… … Википедия
дискретная математика — то же, что конечная математика. * * * ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА, то же, что конечная математика (см. КОНЕЧНАЯ МАТЕМАТИКА) … Энциклопедический словарь
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — конечная математика, раздел математики, занимающийся изучением св в объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены, напр., конечные группы, конечные графы, нек рые матем. модели преобразователей информации. Д. м. теоретич. основа… … Большой энциклопедический политехнический словарь
«Дискретная математика» — научный журнал РАН, с 1989, Москва. Учредитель (1998) Отделение математики РАН. 4 номера в год … Энциклопедический словарь
Теория функциональных систем (дискретная математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Теория функциональных систем (значения). Теория функциональных систем раздел дискретной математики, занимающийся изучением функций, описывающих работу дискретных преобразователей. В теории… … Википедия
МАТЕМАТИКА — (греч. mathematike от mathema наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах;… … Большой Энциклопедический словарь
Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия
математика — и; ж. [греч. mathēmatikē] 1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Высшая м. Элементарная м. Прикладная м. Законы математики. // Учебный предмет, изучающий эту науку. Экзамен по математике. Преподавать… … Энциклопедический словарь
Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия