Производная что это такое для чайников


Производная функции. Исчерпывающее руководство (2020)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.

Если ось   направить вдоль дороги горизонтально, а   – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось   – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. 

Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).

А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?

Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.

Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим   (читается «дельта икс»).

Греческую букву   (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».

То есть   – это изменение величины  ,   – изменение  ; тогда что такое  ? Правильно, изменение величины  .

Важно: выражение   – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!

То есть, например,  .

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на  . Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции  , то как мы обозначим подъем? Конечно,  . То есть, при продвижении вперед на   мы поднимаемся выше на  .

Величину   посчитать легко: если в начале мы находились на высоте  , а после перемещения оказались на высоте  , то  . Если конечная точка оказалась ниже начальной,   будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

 .

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на   км дорога поднимается вверх на   км. Тогда крутизна в этом месте равна  .

А если дорога при продвижении на   м опустилась на  км?

Тогда крутизна равна  .

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.

Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.

Просто на расстоянии в   км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.

Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.

Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.

Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.

Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?

А ты подели это число на   – и будет еще меньше. И так далее.

Если хотим написать, что величина   бесконечно мала, пишем так:   (читаем «икс стремится к нулю»).

Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое ( ).

Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.

Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.

Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при  , и наоборот: при  .

Теперь вернемся к нашей дороге.

Идеально посчитанная крутизна – это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

 .

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.

Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.

Например,  . То есть одна малая величина может быть ровно в   раза больше другой.

К чему все это?

Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение.

То, насколько изменился аргумент ( ) при продвижении вдоль оси  , называется приращением аргумента и обозначается  

То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси   на расстояние  , называется приращением функции и обозначается  .

Итак, производная функции   – это отношение   к   при  .

Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа:   или просто  .

Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

А бывает ли производная равна нулю?

Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

 ,

так как приращение такой функции равно нулю при любом  .

А еще?

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси  :

Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.

Но при этом он остался параллелен оси  , то есть разность высот на его концах   равна нулю (не стремится, а именно равна).

Значит, производная

 .

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.

Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).

Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть  . Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):

Немного подробнее о приращениях.

Итак, мы меняем аргумент на величину  . Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал?

Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой  . Значение функции в ней равно  .

Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату   на  .

Чему теперь равен аргумент?

Очень легко:  .

А чему теперь равно значение функции?

Куда аргумент, туда и функция:  .

А что с приращением функции?

Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

 .

Потренируйся находить приращения:

  1. Найди приращение функции   в точке   при приращении аргумента, равном  .
  2. То же самое для функции   в точке  .

Решения:

В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале – крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

«Ну ладно, ладно, уже давно понятно, что такое производная! Но как ее применить на практике? Давайте уже возьмем и вычислим какую-нибудь производную, в конце концов!» – скажешь ты. Щас все будет.

Вычисление производных

Начнем с простого.

Константа.

Это мы уже обсуждали: если функция  , где   – некое постоянное число, то каким бы ни было приращение аргумента  , функция нисколько не изменяется:  . А значит,

То есть, произвоная от константы равна нулю:

Степенная функция.

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем – в любой степени:  .

Простейший случай – это когда показатель степени  :

a)  .

Найдем ее производную в точке  . Вспоминаем определение производной:

Итак, аргумент меняется с   до  . Каково приращение функции?

Приращение – это  . Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

 .

Производная равна:

Производная от   равна  :  

b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию ( ):  .

 .

А теперь вспомним, что  . Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

 .

Итак, у нас родилось очередное правило:

c) Продолжаем логический ряд:  .

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

 .

И снова вспомним, что  . Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими  :

 .

Получаем:  .

d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на  ».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

  1.  ;
  2.   (двумя способами: по формуле и используя определение производной – посчитав приращение функции);
  3.  .

Решения:

 

Тригонометрические функции.

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При   выражение  .

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при   функция не существует – точка на графике выколота. Но чем ближе   к значению  , тем ближе функция к  . Это и есть то самое «стремится».

Впредь будем считать, что при   это выражение равно  :  .

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем:  ;

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

Попробуй теперь сам для   и так далее.

  и т.д. Видим, что чем меньше  , тем ближе значение отношения к  .

Убедился? Идем дальше.

a) Рассмотрим функцию  . Как обычно, найдем ее приращение:

 .

Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему «Формулы тригонометрии»):  .

Теперь производная:

Сделаем замену:  . Тогда при бесконечно малом     также бесконечно мало:  . Выражение для   принимает вид:

 .

А теперь вспоминаем, что при   выражение  . А также, что если бесконечно малой величиной   можно пренебречь в сумме   (то есть   при  ).

 .

Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу:

b) Теперь косинус:  . Здесь будем использовать формулу разности косинусов:  :

 .

 .

Значит, производная косинуса равна минус синусу:

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти – самые важные, так как используются чаще всего.

Потренируйся:

  1. Найди производную функции   в точке  ;
  2. Найди производную функции   в точке  ;
  3. Найди производную функции  .

Решения:

Экспонента и натуральный логарифм.

Есть в математике такая функция, производная которой при любом   равна значению самой функции при этом же  . Называется она «экспонента», и является показательной функцией

 .

Основание этой функции – константа   – это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как  ). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой  .

Итак, правило:

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число  :

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием  ) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение  : вместо   пишем  .

Чему равен  ? Конечно же,  .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

  1. Найди производную функции  .
  2. Чему равна производная функции  ?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм – функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование – это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции   при  . Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например,   и  . Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если   – какое-то постоянное число (константа), тогда.

Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:

Пусть  , или проще  .

 .

 , ч.т.д.

Пример: Найдите производную функции   в точке  .

Решение:

Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение.

Итак, константа здесь – это  , функция –  :

Производная суммы.

Производная суммы равна сумме производных:

Очевидно, это правило работает и для разности:  .

Докажем. Пусть  , или проще  .

 .

Примеры.

Найдите производные функций:

  1.   в точке  ;
  2.   в точке  ;
  3.   в точке  ;
  4.   в точке  .

Решения:

Производная произведения

Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.

Снова введем новую функцию:  , или проще  .

 .

Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:

Итак,

Производная:

Но при   приращение любой функции тоже бесконечно мало:  . Поэтому последним слагаемым в выражении для производной   можно пренебречь:

 , ч.т.д.

Примеры:

  1. Докажи правило 0 с помощью правила 2;
  2. Найди производную выражения  ;
  3. Найди производную функции  .

Решения:

Производная частного.

Здесь все аналогично: введем новую функцию   и найдем ее приращение:

 .

Производная:

 .

Примеры:

  1. Найдите производные функций  и  ;
  2. Найдите производную функции   в точке  .

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак,  , где   – это какое-то число  .

Мы уже знаем производную функции  , поэтому давай попробуем привести нашу функцию   к новому основанию  :

Для этого воспользуемся простым правилом:  . Тогда:

 .

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция – сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было  , так и осталось, появился только множитель  , который является просто числом, но не переменной.

Примеры: Найди производные функций:

Ответы:

 

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

 ,

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например,  :

 ,

Нужно привести этот логарифм к основанию  . А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

 .

Только теперь вместо   будем писать  :

 ,

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной  ). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число   (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция  . Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция:  .

Для нашего примера  ,  .

Тогда  .

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь   в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа:  . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример:  (то же самое).  .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией, а действие, совершаемое первым – соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы:Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

  производим замену переменных   и получаем функцию  .

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку – искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

 .

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

или проще:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Алгоритм Пример: 
1.Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную. Внутренняя функция:  . 
2.Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную. Внешняя функция: . 
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.  .

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

Прямо сейчас рекомендую перейти к теме «Уравнение касательной к графику функции». Там ты разберешь геометрический смысл производной, что поспособствует лучшему ее пониманию.

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

  при  

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:  

Производная суммы:  

Производная произведения:  

Производная частного:  

Производная сложной функции:  

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

  1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
  2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
  3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

youclever.org

Что такое производная?Определение и смысл производной функции

Высшая математика:

Математика для заочников Математические формулы,таблицы и справочные

материалы

Книги по математике Математические сайты >>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи? Сборники готовых решений!

Не получается пример? Задайте вопрос на форуме!>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

  Карта сайта

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных.

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции, и, в особенности, бесконечно малые величины. Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций. Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные, в том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования, даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной, где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики», пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу  (вид сбоку): На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах  функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале  функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке  мы достигаем максимума, то есть существует такой участок пути, на котором значение  будет самым большим (высоким). В точке же  достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение  самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции, а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках   функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью. И первое, что бросается в глаза – на интервале  график взмывает вверх гораздо более круто, чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение  (читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента, и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту  (зелёная линия). Величина  называется приращением функции, и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси  – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что  – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение  являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние  метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит  метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение?  =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание: числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние  от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение  (малиновая линия) относительно невелико, и отношение  по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря,  метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси  ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным:  метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона»  лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом  мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов  можно подобрать значение  (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение  высоты  будет гарантированно положительным, и неравенство  корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона  существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение  высоты  однозначно отрицательно, и неравенство  корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

–  Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты ()  – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок  в любую сторону, то изменение высоты  будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции  фактически нулевая. В точках  наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым.

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги  и её графика найти другую функцию, которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной. Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

По аналогии с непрерывностью, «раскрутка» производной начинается с её изучения в отдельно взятой точке:

Производная функции в точке

Рассмотрим функцию  (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку , принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение :  

Зададим аргументу функции приращение  (красный отрезок) в точке . Обратите внимание, что  – это тоже вполне определённая точка нашего интервала (на всякий случай отметил её малиновым цветом). И в этой точке существует своё значение функции .

Приращение аргумента  повлекло за собой приращение функции:  (малиновый отрезок)

В данном случае , поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает.

Давайте сразу возьмём на заметку, что нарисовалось в результате проделанных действий. Ну, конечно же, в глаза бросается секущая  (коричневая прямая) и прямоугольный треугольник .

Угол наклона секущей к оси  я обозначил через  и отметил его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу не случайно – он однозначно определяется приращениями . Рассмотрим прямоугольный треугольник  и угол . Согласно школьному определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Определение: производной функции в точке  называется предел отношения приращения функции  к вызвавшему его приращению аргумента  в этой точке при . Или коротко:

Если данный предел конечен, то функция  является дифференцируемой в точке .  А то, что в львиной доле случаев предел  существует и конечен, скептики убедятся в самом ближайшем будущем.

И, конечно же, не забываем о важнейшей особенности предела, как такового: ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ МОМЕНТ состоит в том, что приращение аргумента стремится к нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина  бесконечно малА, но не равна нулю!

Геометрический смысл производной

Пожалуйста, возьмите в руки обычную линейку и совместите её ребро с прямой .

Да-да – приложите прямо к экрану монитора, не комплексуйте =) Вместо линейки можно использовать тетрадку, лист бумаги или даже руку.

Теперь, согласно определению производной , медленно двигаем линейку влево к точке , уменьшая тем самым приращение . При этом приращение функции  тоже уменьшается: точка  будет бесконечно близко приближаться к точке  по горизонтали (красному отрезку), и точка  – бесконечно близко приближаться к той же точке , но уже по графику функции  (синей линии).

В результате секущая  стремится занять положение касательной  к графику функции  в точке . Искомая касательная  изображена зелёным цветом.

Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции: Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.

Вот что матан животворящий делает =)

Развиваем мысль дальше. Вспомним полученную ранее формулу тангенса угла наклона секущей  и осуществим в обеих её частях так называемый предельный переход.

В свете рассматриваемых событий (бесконечного уменьшения  и нахождения предела ) угол наклона  секущей  стремится к углу наклона  касательной  (последний дважды отмечен зелёными дугами). Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов: . В итоге:

Вывод: производная функции в точке  численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке: .

А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент:

В курсе аналитической геометрии выведена формула, по которой можно составить уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Учитывая полученное равенство , перепишем уравнение в виде .

Данной формулой мы уже активно пользовались, когда находили уравнение касательной, и сейчас стало ясно, откуда она взялась.

Существование производной в точке и непрерывность функции

По определению: , следовательно, существование производной в точке  тесно связано с существованием предела  в данной точке.

Я изо всех сил пытался отсрочить этот момент, чтобы не путать посетителей сайта, но рассказать всё равно придётся….  В определении производной  ВАЖНЕЙШИМ является тот факт, что приращение аргумента  задаётся и в другую сторону. Возьмите карандаш и листок бумаги (не ленимся – так будет в 10 раз понятнее!!!!). Изобразите координатные оси, примерно такой же график функции  и точки .

Отложите на чертеже небольшой отрезок  слева от точки . При этом точка расположится левее точки , а точка  – ниже точки . Теперь проведите секущую графика функции  и начните мысленно уменьшать приращение вправо к точке . В результате данная секущая будет стремиться занять положение той же самой «зелёной» касательной!

Примечание: приращение с левой стороны осуществляется «против оси абсцисс» и поэтому отрицательно: . Заметьте, что всё остаётся корректным, так, в нашем случае соответвующее приращение  тоже меньше нуля, и по этой причине левосторонний предел таки будет положительным , корректно показывая (как и его правосторонний коллега) рост функции в точке . Односторонние пределы конечны и совпадают, что говорит о существовании общего  предела, производной и единой касательной.

Таким образом, существование производной в точке геометрически очень удобно ассоциировать с существованием ОБЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ в данной точке.

Очевидно, что функция не дифференцируема в точках разрыва. Во-первых, она может быть не определена в такой точке, следовательно, приращение  задать невозможно (на нет и суда нет). А во-вторых, практически всегда попросту не существует общего предела  (по причине различных «нехорошестей» с односторонними пределами). Читатели, насмотревшиеся графиков разрывных функций (это намёк ;-) = )), легко представят проблему с общей касательной.

Вывод: из дифференцируемости функции  в точке  необходимо (обязательно) следует её непрерывность в данной точке.

Однако обратное утверждение в общем случае неверно, то есть из непрерывности функции дифференцируемость следует далеко не всегда! Классический пример, функция  в точке  (чертёж есть в  Примере 24 урока о геометрических преобразованиях графика). Если рассмотреть приращение  справа, то правосторонний предел будет равен , и, соответственно, получаем касательную , совпадающую с правой частью графика . Если же придать приращение аргументу  влево, получается совсем другой результат:  и другая касательная , которая совпадает с левой частью графика . Печалька. Ни общего предела, ни общей касательной. Таким образом, функция  хоть и непрерывна в точке , но не дифференцируема в ней! Подробное аналитическое доказательство проводится по шаблону Примера 11 статьи Производная по определению. Ещё один типичный образец есть в Примере 6 урока Непрерывность функции, где кусочно-заданная функция непрерывна на . Однако не всё так безоблачно – она не дифференцируема в точках «стыка» графика.

В заключение параграфа немного об особых случаях. 

Когда предел  равен «плюс» или «минус бесконечности», то производная тоже существует и касательная к графику функции будет параллельная оси . Например, касательной к графику функции  (см. чертёж Примера 6 урока Методы решения определённых интегралов) в точке  является сама ось ординат. Более того, если односторонние пределы бесконечны и различны по знаку, то единая касательная и производная всё равно существуют! Пожалуйста: квадратный корень из модуля «икс» в той же точке .

За более детальной и подробной информацией по сабжу можно обратиться, например, к первому тому Фихтенгольца. НедУрно издание 1962 года, закачивается без проблем.

Раз пошла такая пьянка...:

Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл

Дифференциалом функции  в точке  называют главную линейную часть приращения функции  (строго говоря, его следовало обозначить  или ). На чертеже дифференциал  в точке  равен длине отрезка .

Давайте снова возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую . Двигая линейку влево к точке , уменьшаем приращение . Впрочем, и сам выполню несколько засечек: По рисунку хорошо видно, что с уменьшением  уменьшается и приращение функции (малиновые линии). При этом отрезок  занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции , а наш дифференциал  – всю бОльшую и бОльшую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом  дифференциал стремится к полному приращению функции:  (соответственно отрезок  будет бесконечно малым).

Нетрудно вывести формулу для приближенных вычислений с помощью дифференциала. Рассмотрим прямоугольный треугольник  и тангенс угла наклона касательной . Обозначив дифференциал в рассматриваемой точке  корректнее через , и учитывая, что , получаем:

То есть идея формулы приближенных вычислений  состоит в том, чтобы точное значение  функции (смотрим на ось ординат основного чертёжа) заменить суммой  и отрезка . К слову, отрезок  на главном чертеже существенно «не достаёт» до полного приращения , и это не случайность. В демонстрационной иллюстрации я выбрал  большое значении , чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение  меньше – тем дифференциал лучше «дотянется» до полного приращения функции (см. маленький рисунок), и тем точнее сработает формула .

Провернём ещё один неожиданный фокус с полученным равенством . Предельно малое значение  часто обозначают через , поэтому формула принимает вид . Скинем  в знаменатель противоположной части:

Понятие производной функции

До сих пор речь шла о производной и дифференциале в единственной «подопытной» точке . Но ведь в качестве   можно взять ЛЮБУЮ ТОЧКУ рассматриваемого интервала!  Из этих соображений в равенстве  проведём замену  и получим . А это не что иное, как обозначение производной , о котором я упомянул на первом же уроке по технике дифференцирования. Символ  используется двояко – и как цельный символ производной, и как частное дифференциалов. Вторая интерпретация активно эксплуатируется в ходе решения дифференциальных уравнений.

Естественно, и в самом определении производной в точке  заменим  на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону   ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной).

Производная  характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция  возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция   растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция  убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция  убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки  функция  сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума.

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция  произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает  механический смысл производной: Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция  характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции  по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела  – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий  «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

Откуда взялись правила дифференцирования и таблица производных?  Невероятно, но все они появились благодаря единственной формуле: . И как это происходит, мы начнём разбирать прямо сейчас.

Действительно, пора переходить к практическим примерам. Ну а это был, пожалуй, первый обстоятельный теоретический материал, который я опубликовал на сайте – вполне можете взять для реферата или курсовика. Только аккуратнее, здесь есть зашифрованное послание для вашего преподавателя =)

Пример 1

Используя определение производной, доказать, что производная константы равна нулю.

Функция-константа имеет вид , и графически – это семейство прямых, параллельных оси абсцисс. Наверное, многие уже догадались, почему . Изобразим, например, график функции : Это «ровная дорога», то есть функция и не возрастает и не убывает в каждой точке. Ни вверх и не вниз.

Покажем аналитически, что производная функции-константы  равна нулю. Рассмотрим произвольное значение , в котором, понятно, . Придадим аргументу приращение: . Функция всё время постоянна, поэтому  и приращение функции: . По определению производной в точке: Заметьте, тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число , равен нулю. Пытливые читатели могут взять в руки калькулятор и убедиться в этом.

Поскольку в качестве точки  можно взять любое «икс», то проведём замену  и получим: .

Пример 2

Найти производную функции  по определению.

Рассмотрим произвольное значение , в котором .

Зададим аргументу приращение  и вычислим соответствующее значение функции: (обычная алгебра – в функцию  вместо «икса» подставили  и раскрыли скобки).

Вычислим приращение функции:

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве  можно взять любое значение , то .

О чём нам говорит найденная производная? Во-первых, для любого «икс» она отрицательна, а значит, функция  убывает на всей области определения. И, во-вторых, это убывание постоянно, то есть «наклон горки везде одинаков» – в какой бы точке мы ни находились, предельное отношение  будет неизменным: Здесь и далее я предполагаю, что читатель умеет находить, как минимум, простые производные, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей. Давайте найдём производную «быстрым» способом:

Теперь вам должно быть понятно происхождение и весь неформальный смысл полученного результата.

Используя этот же алгоритм, можно решить задачу в общем виде и доказать, что производная линейной функции  равна её угловому коэффициенту: .

В начале статьи Уравнение прямой на плоскости я проанализировал расположение прямой в зависимости от углового коэффициента. И сейчас получено объяснение данных фактов с точки зрения математического анализа. Действительно, рассмотрим две линейные функции  и найдём их производные:

Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области определения (графики идут «снизу вверх»). Кроме того, не забываем, что производная – это мера скорости изменения  функции. Поскольку , то функция  растёт быстрее (причём, значительно) функции , и, соответственно, график  намного более крут.

Факт тривиален, но озвучу: касательная к графику линейной функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции.

Заключительная демонстрационная задача, думаю, развеет все оставшиеся непонятки:

Пример 3

Найти производную функции  по определению.

Рассмотрим произвольную точку  и соответствующее значение . Зададим приращение  и вычислим значение функции в точке : Найдём приращение функции:

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве  можно рассмотреть любую точку  области определения функции , то проведём замену  и получим .

Проверим результат «лёгким» способом:

Исходная функция  и её производная  – это две совершенно разные функции, однако между ними существует чёткая и прозрачная связь: На интервале  производная отрицательна:  (красная линия), что говорит об убывании функции  на данном интервале. Грубо говоря, ветвь параболы идёт сверху вниз. А на интервале  производная положительна:  (зелёная линия), значит, функция  растёт на этом интервале, и её график идёт снизу вверх.

При  производная равна нулю: . Найденное значение показывает, что скорость изменения функции  в точке  равна нулю (функция не растёт в ней и не убывает). В данном случае здесь минимум функции.

Всё это можно утверждать даже не зная, что такое парабола и как выглядит график функции !

И ещё раз заостряю внимание, что значение производной в точке выражает собой некоторую меру скорости изменения функции в данной точке. Найдём несколько значений производной:

Таким образом, в точке  функция  убывает, в точке  сохраняет скорость постоянной, а в точках  – растёт. Причём , поэтому можно сказать (опять даже не зная чертежа!), что в окрестности точки  график функции  идёт вверх круче, чем вблизи точки .

Закрепим геометрический смысл: производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Не поленюсь, применю формулу  четыре раза:

Вот так вот изящно производная характеризует свою функцию.

Наше увлекательное путешествие подошло к концу, и возникает вопрос: в каком направлении двигаться дальше? Это зависит от ваших сегодняшних потребностей:

– Можно потренироваться в нахождении производной по определению. И смех, и грех, но для применения формулы  опять же совсем не обязательно понимать, что это производная =)

– Можно отработать и окончательно уяснить геометрический смысл производной на уроке Уравнения касательной и нормали.

– И, наконец, можно перейти в следующий раздел – к статье об экстремумах функции, из-за которой на сайте, собственно, и появилась теория.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Как найти производную? Примеры решений

Высшая математика:

Математика для заочников Математические формулы,таблицы и справочные

материалы

Книги по математике Математические сайты >>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи? Сборники готовых решений!

Не получается пример? Задайте вопрос на форуме!>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

  Карта сайта

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется  Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта. И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.

Собственно, сразу рассмотрим пример:

Пример 1

Найти производную функции

Решение:

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают  или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы: , где  – постоянное число;

производную степенной функции: ,  в частности: , , .

Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где  – постоянное число (константа)

Пример 2

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Решаем:

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

Готово.

2) Производная суммы равна сумме производных

Пример 3

Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида  желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Пример 4

Найти производную функции

Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока).  Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Пример 5

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от . Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Пример 6

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма  и произведение двух функций –  квадратного трехчлена   и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки  используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

Готово.

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

4) Производная частного функций

В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк. А вот это вот суровая действительность:

Пример 8

Найти производную функции

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны. Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Время от времени встречаются хитрые задачки:

Пример 10

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее? Дело в том, что формула  достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель. Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Пример 12

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

5) Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что  и  – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это - константы. Поэтому  выносится за знак производной, а .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 12:

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

Примеры решения

Пример 1
Найти производную функции $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $
Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

$$ y' = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)' = (x^3)' - (2x^2)' + (7x)' - (1)' = $$

Используя правило производной степенной функции $ (x^p)' = px^{p-1} $ имеем:

$$ y' = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2 x^{2-1} + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = 3x^2 - 4x + 7 $$
Пример 2
Найти производную функции $ y = \sin x - \ln 3x $
Решение

По правилу производной разности:

$$ y' = (\sin x - \ln 3x)' = (\sin x)' - (\ln 3x)' = $$

По таблице интегрирования находим:

$$ (\sin x)' = \cos x $$ $$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:

$$ y' = (\sin x)' - (\ln 3x)' = \cos x - \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = $$

После упрощения получаем:

$$ = \cos x - \frac{1}{3x} \cdot 3 = \cos x - \frac{1}{x} $$

Ответ
$$ y' = \cos x - \frac{1}{x} $$
Пример 3
Найти производную функции $ y = (3x-1) \cdot 5^x $
Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $$

$$ y' = ( (3x-1) \cdot 5^x )' = (3x-1)' 5^x + (3x-1) (5^x)' = $$

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

$$ (3x-1)' = (3x)' - (1)' = 3(x)' - (1)' = 3 $$

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)' = a^x \ln a $: $$ (5^x)' = 5^x \ln 5 $$

Продолжаем решение с учетом найденных производных:

$$ y' = (3x-1)' 5^x + (3x-1) (5^x)' = 3 \cdot 5^x + (3x-1) 5^x \ln 5 $$

Ответ
$$ y' = 3\cdot 5^x + (3x-1) 5^x \ln 5 $$
Пример 4
Найти производную функции $ y = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} $
Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = \ln x $ и $ v = \sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:

$$ u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ $$ v' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Используя формулу №4 получаем:

$$ y' = \bigg ( \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \bigg )' = \frac{ \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} }{x} = $$

Выносим множитель $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ в числителе за скобку:

$$ y' = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}} $$

Ответ
$$ y' = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}} $$
Пример 5
Найти производную функции $ y = \ln \sin 3x $
Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.

$$ y' = (\ln \sin 3x )' = \frac{1}{\sin 3x} \cdot (\sin 3x)' = $$

Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией:

$$ = \frac{1}{\sin 3x} \cdot \cos 3x \cdot (3x)' = \frac{1}{\sin 3x} \cdot \cos 3x \cdot 3 $$

Учитывая определение котангенса $ ctg x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде:

$$ y' = 3ctg 3x $$

Ответ
$$ y' = 3ctg 3x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Частные производные функции двух переменных.Понятие и примеры решений

Высшая математика:

Математика для заочников Математические формулы,таблицы и справочные

материалы

Книги по математике Математические сайты >>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи? Сборники готовых решений!

Не получается пример? Задайте вопрос на форуме!>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

  Карта сайта

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

На данном уроке мы продолжим знакомство с функцией двух переменных и рассмотрим, пожалуй, самое распространенное тематическое задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, а также полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на странице Математические формулы и таблицы.

Быстренько повторим понятие функции двух переменных, я постараюсь ограничиться самым минимумом. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные ,  называются независимыми переменными или аргументами.

Пример:  – функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы  используется буква .

С геометрической точки зрения функция двух переменных  чаще всего представляет собой поверхность трехмерного пространства (плоскость, цилиндр, шар, параболоид, гиперболоид и т. д.). Но, собственно, это уже больше аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда  не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас:

…да, кстати, для этой темы я таки создал маленькую pdf-книжку, которая позволит «набить руку» буквально за пару часов. Но, пользуясь сайтом, вы, безусловно, тоже получите результат – только может чуть медленнее:

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения:  или  – частная производная по «икс»  или  – частная производная по «игрек»

Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).

Решаем:

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием  (сразу откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.

(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как  считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то  мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как  константа, то  – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные производные  и .

(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.

Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная  считается константой (постоянным числом).

(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу  за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку  – уже константа.

(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так:  и .

В чём смысл частных производных?

По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную:

 – это функции, которые характеризуют скорость изменения функции  в направлении осей  и  соответственно. Так, например, функция  характеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности  в направлении оси абсцисс, а функция  сообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат.

! Примечание: здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям.

В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку  плоскости  и вычислим в ней значение функции («высоту»):  – а теперь представьте, что вы здесь находитесь (НА САМОЙ поверхности).

Вычислим частную производную по «икс» в данной точке:   Отрицательный знак «иксовой» производной сообщает нам об убывании функции  в точке  по направлению оси абсцисс. Иными словами, если мы сделаем маленький-маленький (бесконечно малый) шажок в сторону острия оси  (параллельно данной оси), то спустимся вниз по склону поверхности.

Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат: Производная по «игрек» положительна, следовательно, в точке  по направлению оси  функция  возрастает. Если совсем просто, то здесь нас поджидает подъём в гору.

Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат.

Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, (и вообще из любой  точки данной поверхности) мы можем сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности по возможности в каждой точке  области определения данной функции по всем доступным путям. Об этом и других интересных вещах я расскажу на одном из следующих уроков, ну а пока что вернёмся к технической стороне вопроса.

Систематизируем элементарные прикладные правила:

1) Когда мы дифференцируем по , то переменная  считается константой.

2) Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается .

3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (,  либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения:  или  – вторая производная по «икс»  или  – вторая производная по «игрек»  или  – смешанная производная «икс по игрек»  или  – смешанная производная «игрек по икс»

Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.

Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:

Сначала найдем смешанные производные:

Как видите, всё просто: берем частную производную  и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично:

В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство:

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.

Находим вторую производную по «икс». Никаких изобретений, берем  и дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует отметить, что при нахождении ,  нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует.

Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных. Но всему своё время:

Пример 2

Вычислить частные производные первого порядка функции в точке . Найти производные второго порядка.

Это пример для самостоятельного решения (ответы в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, вернитесь к уроку Как найти производную? А вообще, довольно скоро вы научитесь находить подобные производные «с лёту».

Набиваем руку на более сложных примерах:

Пример 3

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Решение: Находим частные производные первого порядка:

Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что  – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие комментарии:

(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае  и , а, значит, и их произведение  считается постоянным числом.

(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.

(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .

(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .

(3) Не забываем, что  – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .

Теперь находим смешанные производные второго порядка:

, значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:

В данном случае:

То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов  и  в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:

И по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка.

Он выглядит так:

ВНИМАТЕЛЬНО найдём «однобуквенные» производные 2-го порядка:

и запишем «монстра», аккуратно «прикрепив» квадраты , произведение и не забыв удвоить смешанную производную:

Ничего страшного, если что-то показалось трудным, к производным всегда можно вернуться позже, после того, как поднимите технику дифференцирования:

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Рассмотрим серию примеров со сложными функциями:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка функции . Записать полный дифференциал .

Решение:

(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение  (внутренняя функция) у нас не меняется.

(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу  за знак производной, а корень  представляем в нужном для дифференцирования виде.

Аналогично:

Запишем полный дифференциал первого порядка:

Пример 6

Найти частные производные первого порядка функции . Записать полный дифференциал .

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое

Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.

Пример 7

Найти частные производные первого порядка функции .

(1) Используем правило дифференцирования суммы

(2) Первое слагаемое  в данном случае считается константой, поскольку в выражении  нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо  была дана функция   – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: .  Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит,  считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:

– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!

На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:

– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.

Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).

Пример 8

Найти частные производные первого порядка функции .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.

Пример 9

Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.

Что дальше? Дальше знакомимся с родственной темой – частными производными функции трёх переменных. После этого я рекомендую ДОБРОСОВЕСТНО (жить будет легче ;)) отработать технику дифференцирования на уроках Производные сложных функций нескольких переменных, Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? и Частные производные неявно заданной функции. И, наконец, обещанная вкусняшка – Производная по направлению и градиент функции. Стратегия и тактика знакомы – сначала учимся решать, затем вникаем в суть!

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: , , , , , , .

Пример 4: Ссылка для просмотра или скачивания ниже.

Пример 6: , ,

Примеры  8, 9:

Посмотреть или скачать решения примеров 4, 8, 9 >>>

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений

Высшая математика:

Математика для заочников Математические формулы,таблицы и справочные

материалы

Книги по математике Математические сайты >>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи? Сборники готовых решений!

Не получается пример? Задайте вопрос на форуме!>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

  Карта сайта

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

После изучения азов нахождения производной в статьях Как найти производную? Примеры решений и Производная сложной функции мы рассмотрим типовые задачи, связанные с нахождением производной. Желающие улучшить свои навыки дифференцирования также могут ознакомиться с уроком Сложные производные. Логарифмическая производная.

Помимо нового материала у вас есть возможность дополнительно «набить руку» на нахождении производных. Действительно, если речь пойдет о типовых задачах на производную, то, как минимум, во всех примерах нужно будет найти эту самую производную. Я постараюсь рассмотреть приёмы решения и хитрости, которые не встречались в других статьях.

Вот наше аппетитное меню:

Повар на раздаче.

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Пример 1

Вычислить производную функции  в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны: В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Готово.

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить производную функции  в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Пример 3

Вычислить производную функции  в точке . Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Пример 4

Вычислить производную функции  в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.

Применительно к нашему случаю: при  касательная  (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .

Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?

Общая формула знакома нам еще со школы:

Значение  нам уже дано в условии.

Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке :  

На следующем этапе находим производную:

Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):

Подставляем значения ,  и  в формулу :

Таким образом, уравнение касательной:

Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой на плоскости принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией: 

Очевидно, что точка  должна удовлетворять данному уравнению:  – верное равенство.

Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.

Рассмотрим еще два примера.

Пример 5

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой

Уравнение касательной составим по формуле

1) Вычислим значение функции в точке :

2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:

3) Вычислим значение производной в точке :

4) Подставим значения ,  и  в формулу :

Готово.

Выполним частичную проверку: Подставим точку  в найденное уравнение:  – верное равенство.

Пример 6

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой

Полное решение и образец оформления в конце урока.

В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду. И, конечно же, ознакомьтесь со строгим определением касательной, после чего закрепите материал на уроке Уравнение нормали, где есть дополнительные примеры с касательной.

Дифференциал функции одной переменной

С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это «почти то же самое, что найти производную».

Производная функции чаще всего обозначается через .

Дифференциал функции стандартно обозначается через  (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

Другой вариант записи:

Простейшая задача: Найти дифференциал функции

1) Первый этап. Найдем производную:

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

Готово.

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.

Помимо «комбинированных» задач с дифференциалом время от времени встречается и «чистое» задание на нахождение дифференциала функции:

Пример 7

Найти дифференциал функции

Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё до дифференцирования? Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень:

 (корень пятой степени относится именно к синусу).

Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби? В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель:

Функция сложная. В ней два вложения: под степень вложен синус, а под синус вложено выражение . Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции  два раза:

Запишем дифференциал, при этом снова представим  в первоначальном «красивом» виде:

Готово.

Когда производная представляет собой дробь, значок  обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).

Пример 8

Найти дифференциал функции

Это пример для самостоятельного решения.

Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке:

Пример 9

Вычислить дифференциал функции  в точке

Найдем производную:

Опять, производная вроде бы найдена. Но в эту бодягу еще предстоит подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем:

Труды были не напрасны, записываем дифференциал:

Теперь вычислим дифференциал в точке :

В значок дифференциала  единицу подставлять не нужно, он немного из другой оперы.

Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Окончательно:

Пример 10

Вычислить дифференциал функции  в точке . В ходе решения производную максимально упростить.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.

Вторая производная

Всё очень просто. Вторая производная – это производная от первой производной:

Стандартные обозначения второй производной: ,  или  (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите  функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое.

Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции .

Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную:

Теперь находим вторую производную:

Готово.

Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример 11

Найти вторую производную функции

Найдем первую производную:

На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: :

Находим вторую производную:

Готово.

Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу :

Если интересно, возьмите первую и вторую производные снова. Результаты, естественно, совпадут.

Отмечу, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности.

Как и для первой производной, можно рассмотреть задачу нахождения второй производной в точке.

Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке :

Необходимость находить вторую производную и вторую производную в точке возникает при исследовании графика функции на выпуклость/вогнутость и перегибы.

Пример 12

Найти вторую производную функции . Найти

Это пример для самостоятельного решения.

Аналогично можно найти третью производную, а также производные более высоких порядков. Такие задания встречаются, но встречаются чуть реже.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Найдем производную: Вычислим значение функции в точке :

Пример 4: Найдем производную: Вычислим производную в заданной точке:

Пример 6: Уравнение касательной составим по формуле 1) Вычислим значение функции в точке : 2) Найдем производную. Перед дифференцированием функцию выгодно упростить: 3) Вычислим значение производной в точке : 4) Подставим значения ,  и  в формулу :

Пример 8: Преобразуем функцию: Найдем производную: Запишем дифференциал:

Пример 10: Найдем производную:

Запишем дифференциал: Вычислим дифференциал в точке :

Пример 12: Найдем первую производную: Найдем вторую производную: Вычислим:

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru


Смотрите также